Modelos de valoracion de opciones sobre titulos de renta fija: aplicacion al mercado colombiano. - Vol. 29 Núm. 126, Enero - Enero - Enero 2013 - Estudios Gerenciales - Libros y Revistas - VLEX 507482538

Modelos de valoracion de opciones sobre titulos de renta fija: aplicacion al mercado colombiano.

AutorHerrera Cardona, Luis Guillermo

Fixed income option pricing models: application to the Colombian market

Modelos de avaliação de opiniões sobre títulos de renda fixa: aplicação ao mercado colombiano

  1. Introducción

    En 2011, el mercado de capitales colombiano se caracterizaba por tener el 93,91% concentrado en títulos de renta fija, frente a un 2,41 y un 1,25% en renta variable y derivados, respectivamente (2). Esto indica la relevancia de contar con instrumentos de cobertura sobre activos financieros de deuda para mitigar los riesgos de tasa de interés. La realidad evidencia que Colombia es un país con un incipiente mercado de derivados y peor aún, carece de metodologías para abordar el tema específico en valoración de opciones sobre títulos de deuda y tipo de interés. No obstante, de acuerdo con Ramírez (2007), la Bolsa de Valores de Colombia adoptó la metodología de Nelson & Siegel (1987) para modelar tasas de interés y sobre esta base valorar precios futuros.

    De esta manera, se hace necesaria la aplicación de modelos existentes para valorar este tipo de instrumentos derivados (opciones) sobre tasa de interés, y en esa vía introducir productos financieros presentes en otros mercados en aras de impulsar el mercado de derivados en Colombia. En general, como respuesta a dicha necesidad se podría sugerir la revisión y uso de los modelos de evolución de tasas de interés. Tal como lo exponen Restrepo & Botero (2008), en etapas incipientes de desarrollo de los mercados de derivados, estos modelos aparecen como una elección imprescindible debido a su sencillez y parsimonia.

    Para el caso específico de Colombia, a partir de 2002 se comienzan a vislumbrar estudios relacionados con estructura a plazos, en donde se encuentran los trabajos de Arango, Melo & Vásquez (2002), Julio, Mera & Revéiz (2002), y Melo & Vásquez (2002). Cinco años después, se exponen documentos que incorporan la metodología de Nelson, Siegel & Svensson como el de Ramírez (2007) y posteriormente tratados alusivos al uso de modelos de tasa corta tales como el de Hull & White (1993a, 1993b), y Black & Karasinski (1991) evidenciados en Restrepo & Botero (2008) y Grajales & Pérez (2008).

    Para este documento se seleccionó el modelo de Vasicek (1977). Este, además de ser pionero dentro de las metodologías de estructura a plazos, es usado en otros mercados. El modelo en mención se implementa numéricamente evolucionando la tasa de interés y finalmente valorando una opción a través de la fórmula modificada de Black (1976).

    Acto seguido, se exhibe una aplicación para un título de deuda pública nacional, específicamente hablando, un TES con vencimiento al 24 de julio de 2020. Para tales efectos, se implementa una formulación en la hoja electrónica Excel 2007[R] complementada por un algoritmo de programación en Visual Basic y procedimientos econométricos para estimar los parámetros de entrada que exige el modelo en EViews 5.0[R].

    Como resultado de esta implementación, se encuentra que la metodología arroja resultados no satisfactorios. En otras palabras, el modelo no se ajusta a valores consistentes, porque los precios de las primas son muy elevados. Por otro lado, si se realiza el ejercicio introduciendo parámetros basados en criterios empíricos (ensayo y error) basados en otros trabajos, los resultados son satisfactorios y totalmente coherentes.

    El documento presenta la siguiente estructura. En primer lugar, se hace una revisión de literatura relacionada con los modelos de evolución de tasas de interés, especificando cómo estos sirven de insumo en la determinación del valor de una opción sobre títulos de renta fija. En segundo lugar, se describe la metodología llevada a cabo en este estudio, teniendo en cuenta que se modelarán 2 escenarios, uno con estimaciones econométricas y otro con parámetros sugeridos en estudios similares. Finalmente, se presentan los resultados e interpretaciones de los resultados obtenidos, realizando un análisis específico para el caso de Colombia.

  2. Marco teórico

  3. I. Modelos de evolución de tasas y el trabajo de Vasicek

    Los modelos de tasa de interés, también, conocidos como modelos de estructura a plazos (3), están basados en teorías concernientes al comportamiento de las tasas de interés. Tales modelos buscan identificar elementos o factores que pueden explicar la dinámica de estas. Dichos factores son aleatorios o estocásticos, lo que implica que sus valores futuros no pueden ser pronosticados con certidumbre. Por lo tanto, los modelos en mención utilizan procesos estadísticos para describir las propiedades estocásticas de los factores y de este modo llegar a una representación razonablemente precisa del comportamiento de la tasa.

    Los primeros modelos descritos en la literatura académica explican el comportamiento de la tasa de interés en términos de la dinámica de una tasa corta (4). Esta estructura se refiere a la tasa de interés para un período que es infinitesimalmente pequeño.

    El punto de partida en esta temática fue marcado por el trabajo de Ito (1951), el cual se exhibe en la ecuación diferencial estocástica (1):

    [derivada parcial]P(t) = [my](t)[derivada parcial]t + [sigma](t)[derivada parcial]Z(t) (1)

    donde P(t) se refiere al precio, [my](t) es la media, [sigma](t) la volatilidad y Z(t) es un movimiento Browniano (5).

    A partir del teorema en mención se realiza una extrapolación al plano de las tasas de interés. De esta manera, surgen los modelos de evolución de tasas. De acuerdo con Restrepo & Botero (2008), estos se pueden clasificar en modelos de equilibrio y de no arbitraje; los primeros se basan en una serie de supuestos referentes a la economía en la cual operan y derivan un proceso para la tasa de interés de corto plazo. En dichos modelos las estructuras a plazos de tipos de interés y de volatilidades se determinan de forma endógena. Aquí se pueden referenciar trabajos como los de Vasicek (1977) y Cox, Ingersoll & Ross (1985). Por otro lado, los de no arbitraje tratan las estructuras antes mencionadas como exógenas, procurando que los precios de los títulos dados por el modelo coincidan con los observados en el mercado. En este plano se pueden resaltar los trabajos de Ho & Lee (1986), Hull & White (1990), Black, Derman & Toy (1990), Heath, Jarrow & Morton (1990) y Black & Karasinski (1991).

    Otra manera de clasificar los trabajos de tasa de interés es de acuerdo con el número de factores aleatorios objeto de análisis. Mientras los modelos unifactoriales contemplan la tasa corta de interés como único factor de relevancia, aspecto que los hace débiles; los modelos multifactoriales asumen por lo menos 2 factores relevantes en su estructura a plazos de las tasas de interés, por ejemplo, la tasa corta y su tendencia, la cual sigue un proceso de Gauss-Wiener (6). Con respecto a esta última caracterización se pueden mencionar los trabajos de Brennan & Schwartz (1979), Extended CoxIngersoll-Ross (CIR) en Chen & Scott (1992), y el de Heath, Jarrow & Morton (1992).

    Entre tanto, el planteamiento de Vasicek fue el primer modelo de estructura a plazo descrito en la literatura académica. Es un modelo de tasa corta unifactorial de equilibrio que asume que dicha tasa es un proceso que sigue una distribución normal incluyendo una reversión a su nivel medio.

    El modelo es muy popular en los círculos académicos y en los laboratorios de mercados financieros dado que es analíticamente tratable y fácil de implementar. A pesar de que tiene un elemento de volatilidad constante, la reversión a la media elimina la certeza de presentar tasas de interés negativas en el largo plazo. No obstante, al no librarse del arbitraje (por no tratarse de un modelo de noarbitraje) respecto a los precios de los bonos en el mercado, algunos profesionales no trabajan con el modelo para evitar este tipo de situaciones.

    El modelo de Vasicek describe la dinámica de la tasa corta de interés y satisface el proceso de Itô dado en (2)

    [derivada parcial]r = a(b - r)[derivada parcial]t + [sigma][derivada parcial]z (2)

    donde

    a: velocidad de reversión a la media, es decir, la rapidez con que la tasa de interés de corto plazo tiende a regresar a su valor de largo plazo, b, una vez que se ha desviado de este.

    b : nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a largo plazo.

    z : proceso de Wiener estándar con media 0 y desviación estándar 1.

    [sigma] : volatilidad de los cambios de la tasa de interés de corto plazo.

    dt : intervalo de tiempo que tiende a cero (0).

    dz : es un proceso browniano.

    A su vez, la dinámica de la tasa de interés dada en (2), tal y como lo interpretan Restrepo & Botero (2008), implica que los cambios en la tasa corta se componen de una tendencia dada por [a(b - r)dt] y de un componente estocástico adz.

    En otros textos se usan diferentes notaciones, presentando la fórmula (2) como:

    [derivada parcial]r = k([theta] - r) [derivada parcial]t + [sigma]dz (3)

    o

    [derivada parcial]r = [alfa]([my] - r) [derivada parcial]t + [sigma][derivada parcial]z (4)

    De esta manera, y partiendo de (2), el precio en el tiempo t de un bono cero cupón que paga una unidad monetaria y madura al tiempo T está dado por (5) (7).

    P(t,T) = A(t,T)[e.sup.-B(t,T)r(t)] (5)

    Siendo

    r(t): tasa de corto plazo en el tiempo t

    B (t, T) = 1 - [e.sup.-a(T - t)]/a

    y

    [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

    En cuanto a la estructura a plazos en Vasicek (1977), siempre que la ecuación (5) se exhiba como P(t,T) = [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], donde [sub.t][R.sub.T] es la tasa de interés en el tiempo t...

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