Asimetría y curtosis en el modelo binomial para valorar opciones reales: caso de aplicación para empresas de base tecnológica.
| Autor | Silverio Milanesi, Gast |
Skewness and Kurtosis in the Binomial Model for Assessing Real Options: an application case for technological firms
Assimetria e curtose no modelo binomial para avaliar opções reais: caso de aplicação para empresas de base tecnológica
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Introducción
En los últimos años, los modelos de valoración de opciones han pasado de ser un conjunto de complejos métodos a convertirse en una herramienta indispensable para valorar activos financieros y reales1 (Wilmott, 2009). En el caso de los activos reales, la teoría de las opciones reales permite valorar la flexibilidad estratégica contenida en las decisiones de inversión y en la valuación de empresas (Smit y Trigeorgis, 2004). El éxito de su implementación reside en la existencia de mercados perfectos, eficientes y completos, donde se pueden concebir carteras de riesgo equivalente a las estrategias objeto de valoración y asumir el supuesto de normalidad en el comportamiento estocástico de las variables aleatorias.
No obstante, las condiciones señaladas también constituyen debilidades en ciertos activos reales (Smith y Nau, 1995; Wang y Halal, 2010). Específicamente, los inconvenientes emergen en el caso de empresas o proyectos de base tecnológica (EBT). Estas se caracterizan por el desarrollo de nuevas tecnologías generadas sobre la base del conocimiento y su valor constituido principalmente en activos intangibles como el conocimiento. Para su valoración, se requiere aplicar la teoría de opciones reales para capturar e incorporar la flexibilidad estratégica del emprendimiento (por ejemplo, posibilidad de expansión o transferencias de licencias, derechos y/o patentes). Valorar EBT con los modelos clásicos (tiempo continuo Black-Scholes, método discreto binomial) presenta los siguientes inconvenientes: a) por lo general, no existen en el mercado activos financieros que permitan replicar los riesgos del proyecto ni activos reales comparables, dada la significativa participación del capital humano, y b) los procesos estocásticos involucrados se pueden alejar del clásico paradigma de distribución de probabilidad normal. De allí, la necesidad de concebir herramientas que modelen la situación particular de este grupo de activos reales a partir de la limitaciones indicadas para su valoración.
Motivado por las limitaciones indicadas para las EBT, el trabajo propone un modelo que se basa en el clásico método binomial de valuación de opciones financieras (Cox, Ross y Rubinstein, 1979) extendido para el caso de activos reales (proyectos de inversión, estrategias, firmas en marcha, etc.) (Amram y Kulatilaka, 1998; Brandao, Dyer y Hahn, 2005; Mun, 2004; Trigeorgis, 1995, 1997; Calle y Tamayo, 2009) incorporando momentos estocásticos de orden superior (asimetría y curtosis) a través de coeficientes equivalentes ciertos no constantes, para proyectar eventuales escenarios futuros en donde el proceso estocástico del subyacente (valor del proyecto) se aparte del comportamiento normal (Rubinstein, 1994, 1998). El objetivo del modelo propuesto es incorporar en el valor estimado los posibles valores propios de sensibilizar asimetría y curtosis en el proceso estocástico del subyacente, sin perder de vista la simplicidad e intuición del clásico modelo binomial para valorar opciones reales. A continuación se resumen los pilares en los cuales se cimienta el modelo propuesto:
* Definiciones subjetivas de probabilidad (Landro, 2010) característica sobresaliente en las EBT dado el carácter innovador de la firma, importante participación del capital intelectual e inexistencia de activos financieros réplica en el mercado de capitales. Como consecuencia de lo expuesto, a menudo no se dispone de observaciones o frecuencias relacionadas con los movimientos estocásticos correspondientes a la función de beneficios (2), imposibilitando el uso de probabilidades objetivas o con base en observaciones.
* Utilización del enfoque de Marketed Asset Disclaimer (Copeland y Antikarov, 2001; Smith, 2005) para determinar el valor del riesgo del proyecto y demás parámetros del proceso binomial, dada la inexistencia de activos financieros réplica.
* Incorporar momentos de orden superior transformando la función binomial, estimando probabilidades implícitas, y aplicando coeficientes equivalentes ciertos no constantes que permitan incorporar asimetría y curtosis.
El trabajo se ordena de la siguiente manera: primero, se expone teóricamente la transformación en la función binomial, la proyección del valor incorporando momentos superiores y la estimación de las probabilidades implícitas. Seguidamente, se ilustra el funcionamiento del modelo aplicando a un caso de valuación de una EBT con opción de invertir y/o venta de licencia, en donde se sensibilizan diferentes valores para los momentos de orden superior y se presenta el impacto en el valor de las decisiones estratégicas en juego. Finalmente, se presenta la conclusión.
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La expansión de Edgeworth en la distribución binomial y las probabilidades implícitas
En este apartado, se presentará formalmente el modelo de valoración de opciones propuesto. Primero, se explica la expansión de Edgeworth y su transformación sobre la clásica distribución binomial, incorporando los momentos estocásticos de orden superior. A continuación se deriva el conjunto de ecuaciones para ser aplicadas en la proyección del recorrido de la variable aleatoria, el activo subyacente de la opción. Finalmente, se explicita el procedimiento para calcular las probabilidades implícitas asociadas a los nodos de la rejilla binomial transformada, instrumento indispensable en la estimación del valor expandido del proyecto.
2.1. La distribución binomial y la transformación de Edgeworth
En el diseño del proceso estocástico que se ha de proyectar para el subyacente (valor del proyecto) se emplea la función de probabilidad binomial, b(x). Siendo n+1 nodos finales y j=0, 1, 2,...n las posiciones que la variable ocupa en cada nodo. La cantidad de recorridos posibles se obtiene con la siguiente expresión:
r = n!/j!(n--j)! (1)
En cada posición, el valor de la variable aleatoria x corresponde a:
[(2j)--n ]/[ji al cuadrado n] (2)
La función de probabilidad binomial b(x) para a cada nodo es:
[n!/j!(n-j)!][q.sup.j] x [(1-q).sup.j] (3)
La ecuación anterior determina las probabilidades binomiales para los nodos resultantes de la proyección del subyacente, expresión correspondiente al modelo binomial de valoración de opciones (Cox et al., 1979). Este se basa en la distribución normal de probabilidad, donde la media y varianza resumen los movimientos del subyacente. Sin embargo, en aquellas situaciones que no se ajustan a la distribución aludida precedentemente, los momentos estocásticos de orden inferior (media-varianza) son insuficientes para proyectar el universo de probables valores. En estos casos, es necesario incorporar momentos estocásticos de orden superior (asimetría y curtosis), con el objeto de aproximar mejor el valor de la inversión objeto de valuación.
Para incorporar la asimetría (E) y curtosis (K) al proceso estocástico en el método binomial, se requiere transformar la función b(x) (ecuación 3). Lo anterior se logra concibiendo una función nueva, f(x), conocida como función de densidad de Edgeworth, (Rubinstein, 1998). En la función binomial b(x), los valores correspondientes a los 4 momentos (media, varianza, asimetría y curtosis) son: E(x) = 0; E([x.sup.2]) = 1; E([x.sup.3]) = 0, E ([x.sup.4]) = 3. Suponer un valor distinto de 0 y 3 a los momentos de orden superior implica apartarse del supuesto de normalidad y requiere aplicar la transformación de Edgeworth sobre la función original. El resultado es una nueva función f(x,), donde se capturan los siguientes momentos: E(x) = 0; E([x.sup.2])= 1; E([x.sup.3]) = E, E ([x.sup.4])=K. Los pasos son los siguientes:
Primero, se debe calcular la función de transformación W(x) con la siguiente expresión (3):
W(x)= [1 + 1/6E([x.sup.3]-3x) + [1/24] (K-3)([x.sup.4]-6[x.sup.2] + 3) + [1/72][E.sup.2]([x.sup.6] - 15[x.sup.4] + 45[x.sup.2] - 15)] (4)
La función transformada es el producto entre la ecuaciones 3 y 4 en cada nodo f(x) = b(x)W(x). La expansión es solo una aproximación, siendo [[SIGMA].sub.j]f([x.sub.j]) [desigual a] 1. Se debe escalar las probabilidades para que sumen 1, remplazando f([x.sub.j]) con el cociente f([x.sub.j])/[[SIGMA].sub.j] f([x.sub.j]).
Segundo, obtenida la función de densidad ajustada se procede a estimar la media (M) y su varianza ([v.sup.2]):
M [equivalente a] [[SIGMA].sub.j]f([x.sub.j])[x.sub.j] (5)
[v.sup.2] [equivalente a]f([x.sub.j])[([x.sub.j]--M).sup.2] (6)
Con las ecuaciones 5 y 6 surgen los parámetros necesarios para la estandarización de la variable aleatoria (ingresos proyectados o valor intrínseco).
Tercero, los momentos estocásticos de orden superior son incorporados en el valor de la media y varianza. La función de transformación W(x) es aplicada sobre la función binomial b(x), originando la función transformada f(x). Paralelamente, las variables aleatorias [x.sub.j] son remplazadas por las nuevas estandarizadas con la siguiente expresión:
[x.sup.f(x).sub.j] = ([x.sub.j]--M)/V (7)
Con la nueva función f(x) y la incorporación en la media y varianza de los momentos de orden superior se procede a proyectar el valor del subyacente.
2.2. El valor proyectado y la incorporación de la asimetría y la curtosis con la función binomial transformada
El valor del proyecto (variable aleatoria) en cada nodo es denotado como [V.sub.j]. Para ello, se emplea la ecuación 8 para proyectar el valor del subyacente en cada nodo empleando la función corregida f(x). Los insumos son la tasa de crecimiento ([my]); las probabilidades obtenidas de la función corregida f(x), las cuales son denotadas como Pj=f([x.sub.j]) asociadas al valor del subyacente a la fecha del ejercicio de la opción; y la desviación estándar [sigma].
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (8)
Previo a su estimación, es necesario operar sobre la ecuación 9 para...
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