Momentos estoc
| Autor | Silverio Milanesi, Gast |
Higher order stochastic moments and the estimation of implied volatility: Application of Edgeworth expansion over the Black-Scholes' model
Momentos estocásticos de ordem superior e a estimativa da volutilidade implícita: aplicação da expansão de Edgewoth no modelo Black-choles
-
Introducción
La volatilidad en los rendimientos de un activo financiero constituye una de las variables fundamentales en el clásico modelo de Black-Scholes (en adelante BS) (Black y Scholes, 1972, 1973; Merton, 1973) para estimar el valor teórico de una opción financiera. La importancia de la volatilidad reside en su capacidad para explicar y fundamentar la magnitud e incidencia temporal de las variaciones en el precio de la opción frente a variaciones en el precio en el subyacente. La volatilidad no es una variable directamente observable, a diferencia de un precio de mercado, requiriendo de métodos y técnicas para su estimación. En función de la metodología de estimación seleccionada, la volatilidad puede clasificarse en: histórica (observada), implícita, proyectada y de cobertura (1). Una de las principales aplicaciones de la volatilidad implícita consiste en derivar la curva >, utilizada en comparaciones de precios de opciones bajo diferentes ejercicios y expiraciones. La forma funcional de la curva según la solución teórica correspondiente al modelo BS es monótona creciente. No obstante, la forma que se obtiene, utilizando los precios observados de opciones en el mercado en el proceso iterativo, es decreciente o de campana invertida (volatility smile). El principal insumo en la estimación de la volatilidad implícita son los precios de contratos de opciones financieras sobre el mismo activo financiero, idéntica fecha de vencimiento y diferentes precios de ejercicio. Como consecuencia de ello, al estimarse sobre el mismo subyacente, la medida volatilidad implícita debería ser similar para todos los contratos considerados, obteniendo una forma funcional menos curva o suavizada.
Se sostiene que la forma funcional observada de campana invertida estimada con el modelo BS es originada por los contratos de opciones >. Estos presentan una mayor volatilidad implícita con relación a los que se encuentran >, ya que el valor obtenido con el tradicional modelo BS no segrega la asimetría y curtosis en la distribución del subyacente. La consecuencia directa es una sobreestimación de la volatilidad implícita para los extremos de la curva, resultando en la forma aludida (campana invertida) y la infravaloración de las opciones que se encuentran > (Wilmott, 2009). Estas ideas se refuerzan con la evidencia que existe sobre el comportamiento de los rendimientos y precios de activos financieros que, dependiendo del intervalo y características del subyacente, suelen no presentar comportamiento normal y lognormal respectivamente (Taleb, 2004).
Si bien existen diferentes distribuciones y procesos estocásticos que dan origen a un importante número de modelos de valoración de opciones (Gaarder, 2007; León, Mencia y Sentaría, 2007), el principal objetivo del trabajo consiste en proponer una técnica accesible para el tratamiento de uno de los complejos temas en la teoría financiera como lo es el efecto de los momentos estocásticos de orden superior en el valor de opciones financieras y la estimación de la volatilidad implícita. En ese sentido, se desarrolla e ilustra mediante un caso de aplicación a la transformación de Edgeworth sobre el modelo de BS con el fin de incorporar en la valoración del derivado los momentos estocásticos de orden superior y estimar una curva de volatilidad implícita monótona creciente. El modelo propuesto es originario del trabajo de Jarrow y Rudd (1982) y posteriormente del de Babero Filho y Rosenfeld (2004). La expansión utiliza coeficientes como funciones de los momentos estocásticos, en este caso asimetría y curtosis, tanto para la distribución original como para la aproximada. Permite soluciones teóricamente correctas en la valoración de activos, con modelos de solución cerrada, que de otra manera sería imposible de resolver. El modelo propuesto permite estimar;
* Los valores implícitos de la volatilidad, asimetría, curtosis y tasa libre de riesgo.
* El impacto de los momentos de orden superior, en particular el cuarto, en el valor de mercado para los contratos >.
* Una curva de volatilidad implícita con un comportamiento suavizado con relación a la forma de curva de campana invertida.
El trabajo se organiza de la siguiente manera; primero se desarrolla el modelo BS con la expansión de Edgeworth y seguidamente se presenta un caso con el fin de ilustrar su funcionamiento. Se valoran los contratos de opción de compra sobre la acción del Grupo Financiero Galicia (GGAL) negociada en el Mercado de Capitales Argentino. Asimismo se deriva la curva de volatilidad implícita mediante el proceso de iteración empleando el modelo expandido y tradicional. Complementariamente se valoran las opciones de venta aplicando la paridad put-call. Finalmente, los resultados obtenidos son comparados con los precios de mercado observados, las formas de las curvas de volatilidad implícita y la incidencia en el precio de los momentos estocásticos de orden superior.
-
El modelo de Black-Scholes y la expansión de Edgeworth
En la presente sección se desarrolla la expansión de Edgeworth y seguidamente el modelo BMS con el ajuste de la transformación, para la valoración de opciones financieras de compra y venta europeas, en este último caso de manera directa y aplicando la paridad put-call.
2.1. La expansión de Edgeworth
Jarrow y Rudd (1982) aplicaron la expansión de Edgeworth sobre la base de la técnica desarrollada por Schleher (1977), en donde la verdadera distribución de probabilidad z(x) es aproximada por otra denominada g(x), conocida como aproximación. En la literatura estadística la técnica se conoce como expansión de Edgeworth (Cramer, 1946; Kendall y Stuarts, 1977). La expansión aproxima una distribución de probabilidad más compleja a otra distribución alternativa más sencilla, como puede ser la distribución normal o lognormal. Esta técnica permite que los coeficientes en la expansión sean funciones de los momentos, tanto de la distribución original como de la aproximada. De esta manera, se obtienen soluciones teóricas correctas a problemas en la valoración de activos que, de otro modo, serían imposibles de resolver. A partir de los trabajos de Jarrow y Rudd (1982) y también de Babero Filho y Rosenfeld (2004) se contrasta esta metodología en aras de explicar la conocida > (2).
Siguiendo a Babero Filho y Rosenfeld (2004) se procede a desarrollar la expansión. Para ello supóngase una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) [x.sub.1], [x.sub.2], ..., [x.sub.n] con media [my] y varianza finita [[sigma].sup.2]. En este caso la variable aleatoria es definida de la siguiente manera:
[X.sub.n] = [1/n] [n.suma de (i=1)] [x.sub.i] (1)
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria es obtenida mediante una expansión sobre la función característica de la distribución de forma [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], resultando en [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] para la distribución normal y donde [S.sub.n] representa el valor del subyacente en el momento n. La función característica es expandida de la siguiente manera:
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)
Los valores k indican los momentos estocásticos de la...
Para continuar leyendo
Solicita tu pruebaCOPYRIGHT GALE, Cengage Learning. All rights reserved.
