Series variables - Matemáticas financieras, aplicada a ciencias económicas, administrativas y contables. 2da. edición - Libros y Revistas - VLEX 747745705

Series variables

AutorAbel María Cano Morales
Páginas157-196
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Capítulo cuarto
“Genius is 1 percent, inspiration and 99 percent perspiration”.
Thomas Alva Edison
4. Series variables
4.1. Introducción
Dadas las circunstancias que rodean una operación nanciera como son la
disponibilidad de efectivo para realizar los pagos, la exigencia del acreedor
de captar lo antes posible el capital, la comodidad para que el deudor amor-
tice una deuda, entre otras, hace que los ujos de cala de tales operaciones
nancieras no siempre sean iguales a intervalos iguales de tiempo, sino que,
por el contrario, se presenten con frecuencia las series de pagos periódicos o
no pero que van aumentando o disminuyendo a través del tiempo. Además,
esta variación se presenta en forma progresiva ya sea aritmética o geométrica
y creciente o decreciente.
El objetivo de esta capítulo es llegar a manejar esta clase de series llamadas
“series variables”, dentro de las que se cuentan también aquellas que no varían
ni en forma aritmética pero que se pueden ajustar a una ecuación de diferen-
cia nita y, con esta, obtener la solución propia del problema; es precisamente
en ese momento, como se dijo en el prólogo, cuando se logra resolver una
serie de problemas propios de las matemáticas nancieras, pero cuyo compor-
tamiento no se ajusta a ninguno de los modelos elásticos existentes, ya sea en
los formularios o en las máquinas y programas nancieros. Estos problemas los
resolveremos al nal del capítulo, cuando ya tengamos la suciente habilidad
en el manejo de las series aritméticas y geométricas.
Encontramos series de pagos variables en casos tales como los costos de com-
bustibles, costo de la canasta familiar, costo de materiales de construcción,
costos de la educación, costos de transporte, amortización de créditos en el
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sistema UPAC, entre otros, y la importancia en la vida real exige que quien haya
cursado matemáticas nancieras pueda dar una solución adecuada a esta cla-
se de problemas.
Para lograr nuestros objetivos, dividiremos las series variables en: gradientes
aritméticos, gradientes geométricos y otras series diferentes de las anteriores.
4.2. Gradiente aritmético
4.2.1. Denición
Se llama gradiente aritmético a una serie de pagos periódicos en la cual cada
pago es igual al periodo inmediatamente anterior incrementado en la misma
cantidad de dinero.
Por ejemplo, pagar una deuda en cuotas mensuales de $3.000, $3.200, $3.400,
$3.600 y así sucesivamente durante un año o depositar en una cuenta de
ahorros mensualmente las cantidades de $5.000, $4.900, $4.800, $4.700 y así
sucesivamente durante dos años.
Si el incremento es positivo, se llama gradiente aritmético creciente, como en
el primer ejemplo, y si el incremento es negativo, se llama gradiente aritmético
decreciente, como en el segundo ejemplo.
El gradiente aritmético creciente puede ser vencido, anticipado, diferido y
perpetuo, o sea, de las mismas clases de las series vistas en las anualidades.
Así mismo, el gradiente aritmético decreciente puede ser vencido, anticipado,
diferido y perpetuo; se puede simplicar haciendo énfasis en el gradiente arit-
mético vencido, donde al igual que en las anualidades en las fórmulas de valor
presente y futuro de la vencida se puede adaptar el cálculo de los demás casos,
es decir, que si conocemos y manejamos con propiedad el gradiente creciente
vencido, fácilmente manejaremos los demás casos, incluso los decrecientes.
Para esta clase de series de pagos se utiliza, por lo general, la siguiente notación:
F: valor futuro
P: valor presente
A: valor del primer pago
G. valor del incremento
n: número de pagos
i: tasa de interés por periodo
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4.3. Gradiente aritmético creciente
A continuación se presenta el gradiente aritmético creciente vencido.
Sea una serie de n pagos por periodo vencido, donde el primer pago tiene un
valor A y a partir de este cada uno de los siguientes es igual al del periodo in-
mediatamente anterior aumentando en una cantidad positiva G y una tasa de
interés i% por periodo. Esta corresponde al caso general de un gradiente arit-
mético creciente y cuyo diagrama de ujo de caja se muestra en la gura 4.1.
Figura 4.1. Diagrama del ujo de caja de un gradiente aritmético creciente
0 1 2 t t + 1 n
P Ft Ft + 1 F
A A + G A + tG A + (n – 1) G
Al igual que en el caso de las series uniformes, vamos a determinar los factores
para hallar tanto el valor futuro como el valor presente del gradiente aritméti-
co creciente representado en la gura 4.1, aun cuando el método que utiliza-
mos aquí para la obtención de estos factores es por medio de una ecuación de
diferencia nita, esto también se puede obtener mediante series aritméticas.
El valor futuro. Para hallar el valor futuro, consideramos el diagrama general
presentado en la gura 4.1, donde el análisis de desarrollo es en un intervalo
arbitrario (t, t+1) y donde F representa el valor futuro de la serie nal del perio-
do t, incluyendo el pago de ese periodo. Entonces, tendremos que Ft+1 será el
valor futuro o acumulado al nal del periodo t+1. La relación existente entre
esas cantidades es la siguiente:
Ft+1 = Ft + iFt + (A+ tG)
Y se representa como el valor acumulado al nal del periodo t+1 (o sea Ft+1);
es igual al total acumulado al nal del periodo anterior Ft, más los intereses
devengados por esta suma durante este periodo iFt más el pago realizado al
nal del periodo t+1 (o sea t+G).

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